1. 한 문장 정의

미적분학의 기본정리는 함수 (f(x)) 아래에 쌓인 누적량의 변화율이 (f(x))가 되며, 따라서 정적분은 원시함수의 끝값 차이로 계산할 수 있다는 정리입니다.

2. 왜 이 개념이 필요한가

정적분을 작은 직사각형들의 넓이 합의 극한으로만 계산하면 직사각형을 무한히 잘게 나누어야 해서 매우 번거롭습니다.

미적분학의 기본정리는 이 과정을 다음처럼 바꿔 줍니다.

[ \int_a^b f(x),dx=F(b)-F(a) \quad\text{단, }F'(x)=f(x) ]

즉, 복잡한 “넓이의 극한”을 원시함수의 계산으로 구할 수 있게 해 줍니다.

3. 비유: 접선의 기울기와 누적 넓이

이미 배운 것처럼 (f(x))는 그래프에서 한 점의 접선 기울기, 즉 순간변화율입니다.

이제 새로운 함수를 다음처럼 정의해 봅시다.

[ A(x)=\int_a^x f(t),dt ]

(A(x))는 (a)부터 (x)까지 그래프 아래에 누적된 넓이입니다.

(x)를 아주 조금 (dx)만큼 늘리면 새로 추가되는 부분은 대략 다음과 같은 얇은 직사각형입니다.

[ \text{새로 생긴 넓이}\approx f(x),dx ]

따라서 넓이 (A)의 변화율은

[ A'(x)=f(x) ]

가 됩니다.

즉, 원래 함수 (f(x))는 “누적 넓이 함수 (A(x))가 얼마나 빠르게 증가하는지”를 나타내는 함수입니다.

단순화에 따른 주의: 여기서 넓이라고 말했지만, (f(x))가 (x)-축 아래에 있으면 실제 기하학적 넓이가 아니라 부호가 있는 넓이, 즉 순넓이를 뜻합니다.

비유가 깨지는 지점은 다음과 같습니다. (A(x))의 그래프가 (f(x))의 그래프 자체라는 뜻은 아닙니다. (f(x))는 (A(x))의 접선 기울기이고, (A(x))는 (f(x))를 누적한 새로운 함수입니다.

4. 구체적인 예

성립하는 예

[ \int_0^2 x,dx ]

함수 (f(x)=x)의 원시함수는

[ F(x)=\frac{x^2}{2} ]

이므로

[ \int_0^2 x,dx

\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2

\frac{2^2}{2}-\frac{0^2}{2} =2 ]

(0\le x\le2)에서 (y=x)는 (x)-축 위에 있으므로, 이 값은 실제 그래프 아래의 기하학적 넓이와도 같습니다.

성립하지 않는다고 흔히 착각하는 예

[ \int_{-1}^{1}x,dx ]

계산하면

[ \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{1}

\frac12-\frac12=0 ]

하지만 그래프 (y=x)와 (x)-축 사이의 실제 기하학적 넓이는 0이 아닙니다. 왼쪽 부분과 오른쪽 부분의 넓이가 각각 존재하기 때문입니다.

여기서 정적분이 구한 것은 전체 기하학적 넓이가 아니라, (x)-축 위의 넓이는 양수로, 아래의 넓이는 음수로 계산한 순넓이입니다.

5. 시험에서는 어떻게 나오는가

시험에서는 주로 다음 형태로 나옵니다.

• (F'(x)=f(x))일 때 (\displaystyle\int_a^b f(x),dx) 계산하기
• 그래프를 보고 정적분의 부호 판단하기
• (x)-축 위아래 넓이를 구분하기
• (\displaystyle A(x)=\int_a^x f(t),dt)일 때 (A'(x)) 구하기
• 정적분이 기하학적 넓이인지 순넓이인지 판단하기

핵심은 (f(x)\ge0)이면 정적분과 실제 넓이가 일치하지만, (f(x)<0)인 구간이 있으면 정적분은 부호를 포함한 순넓이가 된다는 점입니다.

확인 질문

1. (\displaystyle A(x)=\int_0^x (t^2+1),dt)일 때 (A'(x))는 무엇인가요?

2. (\displaystyle\int_{-2}^{2}x,dx=0)이라는 결과가 실제 기하학적 넓이가 아닌 이유는 무엇인가요?

3. (F'(x)=f(x))일 때 (\displaystyle\int_a^b f(x),dx)를 (F)를 사용해 어떻게 나타내나요?